已知数列{an}满足：a1=3，且an+1=2an-1．求证数列{an-1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式an．令bn=1an

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=3，且a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n-1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）令bn=1an+1-an  (n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=2a_n-1，两边同时减去1，得
a_n+1-1=2（a_n-1），又a₁-1=2
∴{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
∴a_n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+1（n∈N^*）
（2）证明：∵a_n=2ⁿ+1（n∈N^*），
∴bn=1an+1-an=12n+1-2n=12n  (n∈N*)
∴Sn=b1+b2+…+bn=121+122+123+…+12n=12(1-12n)1-12=1-12n

解析

1an+1-an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=3，且an+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。