已知数列an满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2，n∈N)求数列an的通项公式an；设bn=1a2n，求数列bn的前n项和S

题文

已知数列a_n满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2，n∈N)
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设bn=1a2n，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设cn=ansin(2n-1)π2，数列c_n的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N*，Tn＜47． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵1an=(-1)n-2an-1，∴1an+(-1)n=(-2)[1an-1+(-1)n-1]，
又∵1a1+(-1)=3，所以数列{1an+(-1)n}（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，
∴an=(-1)n-13×2n-1+1．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
∴Sn=9•1•(1-4n)1-4+6•1•(1-2n)1-2+n
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）证明：由（1）知an=(-1)n-13•2n-1+1，sin(2n-1)2=(-1)n-1，∴cn=13•2n-1+1，当n≥3时，则Tn=13+1+13•2+1+13•22+1++13•2n-1+1＜14+17+13•22+13•23++13•2n-1
=1128+112[1-(12)n-2]1-12=1128+16[1-(12)n-2]＜1128+16=4784＜4884=47
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，T_n＜47．（12分）

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an满足a1=14，an=an-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。