已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c，

题文

已知首项为1的数列{a_n}满足：对任意正整数n，都有：a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c，其中c是常数．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{an•(-12)an-1}的前n项和为S_n，求证：S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=1时，1×2⁰=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c，①
∴a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an-1•2an-1-1=[（n-1）²-2（n-1）+3]•2^n-1+c，②
①-②，并整理，得an•2a n-1=n2•2n-1，
∴a_n=n²．
（Ⅲ）∵a_n=n²，
∴数列{an•(-12)an-1}={n•(-12)n-1}．
∴S_2n-1=1+2•(-12) +3•(-12)2+…+（2n-1）•(-12)2n-2，
-12S_2n-1=1•(-12) +2•(-12)2+…+（2n-2）•(-12)2n-2+（2n-1）•(-12)2n-1，
∴32S_2n-1=1+(-12) +(-12)2+…+(-12)2n-2-（2n-1）•(-12)2n-1，
=1×[1-(-12)2n-1]1-(-12)=23[1-(-12)2n-1]，
∴S2n-1=49[1-(-12)2n-1]＞49．
同理，S_2m=49[1-(-12)2m]＜49．
∴S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

解析

a1

考点

据考高分专家说，试题“已知首项为1的数列{an}满足：对任意正.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。