已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，如：1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，

题文

已知一个 数列的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2^k-1个2，如：1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…则该数列前2009项的和S₂₀₀₉=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

此数列可分若干组（1，2），（1，2，2），（1，2，2，2，2）…，每组的项数构成数列2，3，5，9…，2^n-1+1
由2+3+5+9+…+2^n-1+1=1+1+2+1+4+1+…+2^n-1+1=n+1×(2n-1)2-1=n+2ⁿ-1≤2009，得n≤10，
故第10组的最后一个2是第1033项，1034项为1，后边有2¹⁰项2，第975个2是数列的第2009项
故S₂₀₀₉=11+2（1+2+2²+…+2⁹+975）=4007
故答案为4007

解析

1×(2n-1)2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。