已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=1an-1an+1，Tn为数列{

题文

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=1an-1an+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）是否存在实数λ，使对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，a21=S1=a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1．…．（1分）
∵a22=S3=a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，
∴bn=12n-1-12n+1，
∴Tn=1-13+13-15+…+12n-1-12n+1
∴Tn=1-12n+1=2n2n+1．…．（6分）
（2）由题意可得，λ•2n2n+1＜n+8，
∴λ＜(2n+1)(n+8)2n=12(2n+8n+17)，…．（8分）
∵2n+8n≥8，当n=2时等号成立，…．（10分）
∴12(2n+8n+17)最小值为252，…．（12分）
因此λ＜252．                 …．（14分）

解析

a21

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。