已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；记Tn=a1a2+a2a3+

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），试判断T_n与2的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得an+1=2an2+an，
∵a₁=1，∴a2=2a12+a1=23，a2=2a22+a2=24，a4=2a32+a3=25．  …（3分）
又由an+1=2an2+an得1an+1=1an+12，即1an+1-1an=12，
∴{1an}是以1为首项，12为公差的等差数列，
∴1an=1+12（n-1）=n+12，∴an=2n+1．                                    …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2． 证明如下：…（8分）
当n≥2时，a_n-1a_n=2n•2n+1=4（1n-1n+1），…（10分）
∴T_n=4[（12-13）+（13-14）+…+（1n-1n+1）]=4（12-1n+1）=2-4n+1＜2…（15分）

解析

2an2+an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an+1（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。