已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．求数列{an}，{bn

题文

已知数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18．数列{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公比为q，由a₃=a₁q²得q²=a3a1=9，q=±3．
①当q=-3时，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
这与a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
②当q=3时，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合题意．
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1
设数列{b_n}的公差为d，由b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃=26，
得4b₁+4×32d=26，结合b₁=2，解之得d=3，
所以b_n=b_n+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
综上所述，数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为a_n=2×3^n-1、b_n=3n-1；
（2）∵b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2组成以3d为公差的等差数列，
∴P_n=nb₁+n(n-1)2•3d=92n²-52n；
同理可得：b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8组成以2d为公差的等差数列，且b₁₀=29，
∴Q_n=nb₁₀+n(n-1)2•2d=3n²+26n．
因此，P_n-Q_n=（92n²-52n）-（3n²+26n）=32n（n-19）．
所以对于正整数n，当n≥20时，P_n＞Q_n；当n=19时，P_n=Q_n；当n≤18时，P_n＜Q_n．

解析

a3a1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等比数列，a1=2，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。