已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=，n=3，4，5，…，求a3；证明an=a

题文

已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a₃；
（2）证明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设得a₃a₄=10，且a₃、a₄均为非负整数，所以a₃的可能的值为1，2，5，10．
若a₃=1，则a₄=10，a5=32，与题设矛盾，
若a₃=5，则a₄=2，a5=352，与题设矛盾，
若a₃=10，则a₄=1，a₅=60，a6=35，与题设矛盾，
所以a₃=2．
（2）用数学归纳法证明，
①当n=3，a₃=a₁+2，等式成立，
②假设当n=k（k≥3）时等式成立，即a_k=a_k-2+2，
由题设a_k+1a_k=（a_k-1+2）（a_k-2+2），
∵a_k=a_k-2+2≠0，∴a_k+1=a_k-1+2，
也就是说，当n=k+1时，等式a_k+1=a_k-1+2成立．
根据①和②，对于所有k≥3，有a_k+1=a_k-1+2．
（3）由a_2k-1=a_2（k-1）-1+2，a₁=0及a_2k=a_2（k-1）+2，a₂=3，
得a_2k-1=2（k-1），a_2k=2k+1，k=1，2，3，
即a_n=n+（-1）ⁿ，n=1，2，3，
所以Sn=12n(n+1)，当n为偶数12n(n+1)-1，当n为奇数

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是由非负整数组成的数列，满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。