数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0．记bn=1an-12(n≥1)．求b1、b2、b3、b4的值；求数

题文

数列{a_n}满足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．记bn=1an-12(n≥1)．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

法一：
（I）a₁=1，故b1=11-12=2；a2=78，
故b2=178-12=83；a3=34，
故b3=134-12=4；a4=1320，
故b4=203．
（II）因(b1-43)(b3-43)=23×83=(43)2，(b2-43)2=(43)2，(b1-43)(b3-43)=(b2-43)2
故猜想{bn-43}是首项为23，公比q=2的等比数列．
因a_n≠2，（否则将a_n=2代入递推公式会导致矛盾）故an+1=5+2a16-8an(n≥1)．
因bn+1-43=1an+1-12-43=16-8an6an-3-43=20-16an6an-3，
2(bn-43)=2an-12-83=20-16an6an-3=bn+1-43，b1-43≠0，
故|bn-43|确是公比为q=2的等比数列．
因b1-43=23，故bn-43=13•2n，bn=13•2n+43(n≥1)，
由bn=1an-12得anbn=12bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=12(b1+b2++bn)+n=13(1-2n)1-2+53n=13(2n+5n-1)
法二：
（Ⅰ）由bn=1an-12得an=1bn+12，代入递推关系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得4bn+1bn-6bn+1+3bn=0，即bn+1=2bn-43，
由a₁=1，有b₁=2，所以b2=83，b3=4，b4=203．
（Ⅱ）由bn+1=2bn-43，bn+1-43=2(bn-43)，b1-43=23≠0，
所以{bn-43}是首项为23，公比q=2的等比数列，
故bn-43=13•2n，即bn=13•2n+43(n≥1)．
由bn=1an-12，得anbn=12bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=12(b1+b2++bn)+n=13(1-2n)1-2+53n=13(2n+5n-1)．
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）b2-b1=23，b3-b2=43，b4-b3=83，23×83=(43)2猜想{b_n+1-b_n}是首项为23，
公比q=2的等比数列，bn+1-bn=13•2n
又因a_n≠2，故an+1=5+2an16-8an(n≥1)．
因此bn+1-bn=1an+1-12-1an-12=15+2an16-8an-12-22an-1=
16-8an6an-3-66an-3=10-8an6an-3；
bn+2-bn+1=1an+2-12-1an+1-12=16-8an+16an+1-3-16-8an6an-3=36-24an6an-3-16-8an6an-3=20-16an6an-3=2(bn+1-bn)．
因b2-b1=23≠0，{bn+1-bn}是公比q=2的等比数列，bn+1-bn=13•2n，
从而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=13(2n-1+2n-2++21)+2
=13(2n-2)+2
=13•2n+43(n≥1)．
由bn=1an-12得anbn=12bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=12(b1+b2++bn)+n=13(1-2n)1-2+53n=13(2n+5n-1)．

解析

11-12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1且8an+1an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。