数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=12，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…写出Sn与Sn-1的递推关系式，并求Sn关于n的表达式．

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=12，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…写出S_n与S_n-1的递推关系式（n≥2），并求S_n关于n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由S_n=n²a_n-n（n-1）（n≥2），
得：S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
所以n+1nSn-nn-1Sn-1=1，对n≥2成立．
由n+1nSn-nn-1Sn-1=1，nn-1Sn-1-n-1n-2Sn-2=1，32S2-21S1=1，
相加得：n+1nSn-2S1=n-1，又S1=a1=12，
所以Sn=n2n+1，
当n=1时，也成立．

解析

n+1n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。