已知数列{xn}满足x2=x12，xn=12，n=3，4，…．若limn→∞xn=2，则x1=A．32B．3C．4D．5

题文

已知数列{x_n}满足x₂=x12，x_n=12（x_n-1+x_n-2），n=3，4，…．若limn→∞xn=2，则x₁=（ ）A．32B．3C．4D．5 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵x2=12x1，且xn=12(xn-1+xn-2)令n=3，
得x3=12(x2+x1)=34x1，令n=4，
得x4=12(x2+x3)  =58x1，
∴x2-x1=-12x1，x3-x2=14x1，x4-x3=-18x1，…，xn- xn-1 =(-12)n-1，
于是x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=x1+-12x1[1-(-12)n-2]1+12 
∴limn→∞xn=x1-13x1=2，x₁=3．故选B

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{xn}满足x2=x12，xn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。