已知函数f=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义an是函数f

题文

已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义a_n是函数f（x）的值域中的元素个数，数列{a_n}的前n项和为S_n，则满足a_nS_n＜500的最大正整数n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，则x[x]=nx
∴函数f（x）的值域中的元素个数是n
∴a_n=n，S_n=n(n+1)2
∴a_nS_n=n2(n+1)2＜500
令g（n）=n2(n+1)2，则g'（n）=3n2+2n2＞0
而g（9）=405＜500，g（10）=550＞500
∴满足a_nS_n＜500的最大正整数n=9
故答案为：9

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。