数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2，n=1，2，3，…，求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；

题文

数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2，n=1，2，3，…，
（I）求a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，Wk=2Sk2+Tk(k∈N*)，求使W_k＞1的所有k的值，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为a₁=0，a₂=2，所以a3=(1+cos2π2)a1+4sin2π2=a1+4=4，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a2k+1=[1+cos2(2k-1)π2]a2k-1+4sin22k-12π=a2k-1+4，
即a_2k+1-a_2k-1=4．所以数列{a_2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列，
因此a_2k-1=4（k-1）．
当n=2k（k∈N^*）时，a2k+2=[1+cos22kπ2]a2k+4sin22k2π=2a2k，
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为an=2(n-1)，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)
（II）由（I）知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，Wk=2Sk2+Tk=k(k-1)2k-1.
于是W₁=0，W₂=1，W3=32，W4=32，W5=54，W6=1516．
下面证明：当k≥6时，W_k＜1．事实上，当k≥6时，Wk+1-Wk=(k+1)k2k-k(k-1)2k-1=k(3-k)2k＜0，
即W_k+1＜W_k．
又W₆＜1，所以当k≥6时，W_k＜1．
故满足W_k＞1的所有k的值为3，4，5．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=0，a2=2，an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。