已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2，a1=1，其中Sn是数列{an}的前n项和．求通项an；记数列{1anan+

题文

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=2tan+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{1anan+1}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=1，由S₂+S₁=2ta2+2，
得a₂=2ta2，∴a₂=0（舍）或a₂=1t，
S_n+S_n-1=2tan+2，①
S_n-1+S_n-2=2tan-1+2 （n≥3）②
①-②得a_n+a_n-1=t（2an-2an-1）（n≥3），
（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，
由数列{ a_n }为正项数列，
∴a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=1t（n≥3），
即数列{ a_n }从第二项开始是公差为1t的等差数列．
∴a_n=1n=1n-1tn≥2
（Ⅱ）证明：∵T₁=1＜2，当n≥2时，
T_n=t+t21×2+t22×3+t23×4+…+t2(n-1)×n
=t+t²（1-1n）
=t+t²n-1n．
要使T_n＜2，对所有的n∈N^*恒成立，
只要T_n=t+t²n-1n＜t+t²≤2成立，
∴0＜t≤1．

解析

2ta2

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。