数列{an}满足：a1=14，a2=15，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则1a1+1a2+…+1a97的值为（　

题文

数列{a_n}满足：a₁=14，a₂=15，且a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1对任何的正整数n都成立，则1a1+1a2+…+1a97的值为（ ）A．5032B．5044C．5048D．5050 题型：未知 难度：其他题型

答案

a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1，①
a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1+a_n+1a_n+2=（n+1）a₁a_n+2，②
①-②，得-a_n+1a_n+2=na₁a_n+1-（n+1）a₁a_n+2，
∴n+1an+1-nan+2=4，
同理，得nan-n-1an+1=4，
∴n+1an+1-nan+2=nan-n-1an+1，
整理，得2an+1=1an+1an+2，
∴{1an}是等差数列．
∵a₁=14，a₂=15，
∴等差数列{1an}的首项是1a1=4，公差d=1a2-1a1=5-4=1，
1an=4+(n-1)×1=n+3．
∴1a1+1a2+…+1a97=97× 4+97×962×1=5044．
故选B．

解析

n+1an+1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足：a1=14，a2=15.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。