已知f=-4+1x2数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(an，-1an+1)在曲线y=f上且a1=1，an＞0．求数列{an}的

题文

已知f（x）=-4+1x2数列{a_n}的前n项和为S_n，点Pn( an，-1an+1)在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为T_n且满足Tn+1an2=Tnan+12+16a²-8n-3，设定b₁的值使得数{b_n}是等差数列；（Ⅲ）求证：S_n＞124n+1-1，n∈N^*． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）-1an+1=f(an) =-4+1an2，且a_n＞0，
∴1an+1=4+1an2，
∴1an+12-1an2=4(n∈N+)，
∴数列{ 1an2}是等差数列，首项 1a12公差d=4
∴1a12=1+4(n-1)
∴an2=14n-3
∵a_n＞0
∴an=14n-3(n∈N+)（4分）（6分）
（Ⅱ）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．
∴Tn+14n+1-Tn4n-3=1．
设 Tn4n-3=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1．
∴{c_n}是等差数列．
∴c_n=c₁+n-1=T11+n-1=b₁+n-1=n．
∴Tn4n-3=T 1+n -1，若{b_n}为等差数列，则T₁=1，即b=1，
即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．
∴当n=1时，b_n=T₁=1；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．
经验证n=1时也适合上式．
∴b_n=8n-7（n∈N^*）．
（III）证明：an=14n-3
∴an=224n-3＞24n-3+4n+1=4n+1-4n-32，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞12（ 5-1）+（ 9-5）+…+12（ 4n+1-4n-3）
=124n+1-1

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=-4+1x2数列{an}的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。