已知数列{an}的首项a1=12，前n项和Sn=n2an．求证：an+1=nn+2an；记bn=lnSn，Tn为{bn}的前n项和，求e-Tn-n的

题文

已知数列{a_n}的首项a1=12，前n项和Sn=n2an．
（Ⅰ）求证：an+1=nn+2an；
（Ⅱ）记b_n=lnS_n，T_n为{b_n}的前n项和，求e-Tn-n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由Sn=n2an①，得Sn+1=(n+1)2an+1②，
②-①得：an+1=(n+1)2an+1-n2an，
整理得，an+1=nn+2an．
（Ⅱ）由an+1=nn+2an，得an+1an=nn+2，
所以an=a1×a2a1×a3a2×…×anan-1
=12×13×24×…×n-2n×n-1n+1
=1n(n+1)（n≥2），
又当n=1时，a1=12，所以an=1n(n+1)．
∴Sn=n2an=nn+1，b_n=lnS_n=lnn-ln（n+1），
∴T_n=（ln1-ln2）+（ln2-ln3）+（ln3-ln4）+…+（lnn-ln（n+1））=-ln（n+1），
∴e-Tn-n=eln(n+1)-n=1．

解析

nn+2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=12，前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。