已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=12，bn=an+1an-1．求数列{bn}的通项公式．设Sn是数列{an

题文

已知数列{a_n}与{b_n}有如下关系：a₁=2，a_n+1=12（an+1an），b_n=an+1an-1．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，求证：S_n＜n+43． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵b_n=an+1an-1．
∴b₁=a1+1a1-1=3，
∵a_n+1=12（a_n+1an），
∴b_n+1=an+1+1an+1-1=(an+1an-1)2=b2n＞0
∴bn=b2n-1=…=32n-1
（2）证明：当n≥2时，an+1-1=an-132n-1+1≤110(an-1)
（当且仅当n=2时取等号）且a2=12(a1+1a1)=54
故a3-1≤110(a2-1)，a4-1≤110(a3-1)，…，an-1≤110(an-1-1)
以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤110[Sn-1-a1-(n-2)]
∴10[S_n-a₁-a₂-（n-2）]≤S_n-1-a₁-（n-2）
∴9Sn≤252+9n-32n-1+132n-1-1
∴Sn≤2518+n-32n-1+19(32n-1-1)＜2518+n-19=2318+n＜2418+n
∴S_n＜n+43．得证

解析

an+1an-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}与{bn}有如下关系：a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。