已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，数列{bn}满足b1=1，且点P在直线y=x+2上．求数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n；
（Ⅲ）设c_n=a_n•sin²nπ2-bn•cos2nπ2 (n∈N*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1，a₁=2…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（2分）
∴a_n=2a_n-1（n≥2），∴{a_n}是等比数列，公比为2，首项a₁=2
∴an=2n…（3分）
又点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是等差数列，公差为2，首项b₁=1，∴b_n=2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵an•bn=(2n-1)×2n
∴Dn=1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n①
2Dn=1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Dn=1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n-(2n-1)×2n+1…（7分）
=2+2×4(1-2n-1)1-2-(2n-1)×2n+1=2n+1(3-2n)-6…（8分）
Dn=(2n-3)2n+1+6…（9分）
（Ⅲ）cn=2n，n为奇数-(2n-1)，n为偶数…（11分）
T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）-（b₂+b₄+…b_2n）
=2+23+…+22n-1-[3+7+…+(4n-1)]=22n+1-23-2n2-n…（13分）

解析

4(1-2n-1)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。