已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=14，an+1=Sn+t16．若数列{an}为等比数列，求t的值；若t＞-4，bn=

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=14，a_n+1=S_n+t16（n∈N^*，t为常数）．
（Ⅰ）若数列{a_n}为等比数列，求t的值；
（Ⅱ）若t＞-4，b_n=lga_n+1，数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时T_n取最小值，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵an+1=Sn+t16…(1)；an=Sn-1+t16…(2)
（1）-（2）得：a_n+1=2a_n（n≥2）…（2分）
∵数列{a_n}为等比数列，∴a2a1=2…..（4分）
∵a2=S1+t16=4+t16，a₁=14，
∴4+t4=2，∴t=4…（6分）
（II）a2=4+t16，a_n+1=2a_n（n＞1），∴an+1=4+t16•2n-1(n∈N*)…．（8分）
∵a₂，a₃，a₄…a_n+1成等比数列，b_n=lga_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列
∵数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时，T_n取最小值，∴b₆＜0且b₇＞0…（10分）
可得0＜a₇＜1且a₈＞1，…（12分）
∴0＜16+4t＜1且32+2t＞1，
∴-154＜t＜-72…（14分）

解析

t16

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。