已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn．若2Sn=1-an，n∈N+，求an．若2Tn=1-an，an≠0，证明{1Tn}为等差数列，并求

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n．
（1）若2S_n=1-a_n，n∈N⁺，求a_n．
（2）若2T_n=1-a_n，a_n≠0，证明{1Tn}为等差数列，并求a_n．
（3）在（2）的条件下，令M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1，求证：115≤Mn＜16． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2S_n=1-a_n，∴n≥2时，2S_n-1=1-a_n-1，
两式相减可得a_n=13a_n-1，
∵2S₁=1-a₁，∴a₁=13
∴an=13n；
（2）证明：∵2T_n=1-a_n，∴2T_n=1-TnTn-1，
∴1Tn-1Tn-1=2
∴{1Tn}为等差数列；
∵T₁=a₁=13
∴1Tn=2n+1
∴T_n=12n+1，an=2n-12n+1；
（3）证明：∵T_n=12n+1，∴T_nT_n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1-12n+3）
∴M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1=12[13-15+15-17+…+（12n+1-12n+3）]=12(13-12n+3)
∴115≤Mn＜16．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。