已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn、an、12成等差数列．求数列{an}的通项公式；若a2n=2-bn，设Cn=bnan，求数列

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n、a_n、12成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a2n=2-bn，设Cn=bnan，求数列{C_n}的前项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 由题意知2an=Sn+12，an＞0
当n=1时，2a1=a1+12∴a1=12；
当n≥2时，Sn=2an-12，Sn-1=2an-1-12
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），整理得：anan-1=2（n≥2）
∴数列{a_n}是12为首项，2为公比的等比数列.an=a1•2n-1=12×2n-1=2n-2
（Ⅱ）a2n=2-bn=22n-4，
∴b_n=4-2n
Cn=baaa=4-2n2n-2=16-8n2nTn=82+022+-823+…+24-8n2n-1+16-8n2n①12Tn=822+023+…+24-8n2n+16-8n2n+1②
①-②得12Tn=4-8(122+123+…+12n)-16-8n2n+1
=4-8•122(1-12n-1)1-12-16-8n2n+1=4-4(1-12n-1)-16-8n2n+1=4n2n
∴Tn=8n2n

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。