定义：称np1+p2+…+pn为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1．求数列{an}的通项公式；（Ⅱ

题文

定义：称np1+p2+…+pn为n个正数p₁，p₂，…p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为12n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设dn=2n•an，试求数列{d_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知定义，得na1+a2+…+an=12n+1，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，即Sn=2n2+n．
当n=1时，a₁=S₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
当n=1时也成立，∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）由a_n=4n-1，所以dn=2n•an=（4n-1）•2ⁿ．
则数列{d_n}的前n项和T_n=d₁+d₂+d₃+…+d_n．
即 Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n（1）
2Tn=3×22+7×23+11×24+…+(4n-1)×2n+1（2）
（1）-（2）得：-Tn=6+4×(22+23+…+2n)-(4n-1)•2n+1
=6+4×4(1-2n-1)1-2-(4n-1)•2n+1=-10+（5-4n）•2ⁿ⁺¹．
所以 Tn=(4n-5)•2n+1+10．

解析

na1+a2+…+an

考点

据考高分专家说，试题“定义：称np1+p2+…+pn为n个正数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。