已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．求数列{an}的通项公式an；求数列{n2an}

题文

已知数列{a_n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使关于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n2an(n≥2)-------（1分）
两式相减得nan=n+12an+1-n2an
所以(n+1)an+1nan=3(n≥2)------------（2分）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2•3n-2(n≥2)----（3分）
故an=1，n=12n•3n-2，n≥2------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2
当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4•31+…+2(n-1)•3n-2+2n•3n-1，------------（6分）
两式相减得Tn=12+(n-12)••3n-1(n≥2)------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，------------（8分）
所以Tn=12+(n-12)••3n-1(n∈N*)------------（9分）
（3）a_n≤（n+1）λ等价于λ≥ann+1，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，ann+1=2•3n-2n(n+1)
设f(n)=n(n+1)2•3n-2(n≥2，n∈N*)，则f(n+1)-f(n)=n(n+1)(1-n)2•3n-1＜0，------------（12分）
∴1f(n+1)≥1f(n)，
又1f(2)=13及a12=12，∴所求实数λ的取值范围为λ≥13，
∴λmin=13-----（14分）

解析

n+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a1+2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。