已知正数数列{cn}的前n项和为Sn，且满足Sn+cn=1．求数列{cn}的通项公式；设an=1cn，探究是否存在数列{bn}，使得a1

题文

已知正数数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+c_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设a_n=1cn，探究是否存在数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2²ⁿ⁺¹+2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由；
（3）若（2）探究出存在数列{b_n}，则求数列{b_n•c_n}的前n项的和T_n；若（2）探究出不存在数列{b_n}，则请计算数列{2n+12n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，S₁+c₁=1，即2c₁=1，故c₁=12（1分）
当n≥2时，S_n+c_n=1，S_n-1+c_n-1=1，两式相减，得（S_n-S_n-1）+（c_n-c_n-1）=0，
即2c_n=c_n-1，
所以数列{c_n}是首项为12，公比为12的等比数列，
所以c_n=(12)n．（3分）
（2）因为a_n=1cn，
所以a_n=2ⁿ．（4分）
若存在数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2ⁿ⁺¹+2对一切正整数n都成立，
则a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n一3）2ⁿ+2（n≥2），（6分）
两式相减，得a_nb_n=2ⁿ（2n+1）（n≥2），解得b_n=2n+1（n≥2）；
由a₁b₁=6，得b₁=3，符合上式，所以b_n=2n+1（n∈N^*）．
所以存在符合条件的数列{b_n}，其通项公式为b_n=2n+1（n∈N^*）．（8分）
（3）因为b_n•c_n=2n+12n，故数列{b_n•c_n}的前n项的和T_n=32+522+723+…+2n+12n，
所以12T_n=322+523+724+…+2n+12n+1，
所以T_n-12T_n=32+222+223+224+…+22n-2n+12n+1=32+12(1-12n-1)1-12-2n+12n+1（11分）
故12T_n=52-12n-1-2n+12n+1=52-2n+52n+1，
所以T_n=5-2n+52n（13分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知正数数列{cn}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。