已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=ka2n+2，a1=1．求数列{an}的通项公式；若数列{1

题文

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+S_n-1=ka2n+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{1anan+1}的前n项和为T_n，是否存在常数k，使得T_n＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n+S_n-1=ka2n+2，∴S_n+1+S_n=ka2n+1+2
两式相减可得（a_n+1+a_n）[(an+1-an)-1k]=0
∵正项数列{a_n}，
∴an+1-an=1k（n≥2）
∵S₂+S₁=ka22+2，a₁=1
∴a2=1k
∴a_n=1，n=1n-1k，n≥2；
（2）由题意，T₁=k，
当n≥2时，Tn=k+k21×2+…+k2(n-1)n=k+k2(1-12+12-13+…+1n-1-1n)=k+k2(1-1n)
∵T_n=k+k2(1-1n)＜k+k²
∴使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），
∴0＜k≤1．

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。