已知有穷数列{an}只有2k项，首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2a-1(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1

题文

已知有穷数列{a_n}只有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且Sn=an+1-2a-1(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=222k-1，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，（n=1，2，3，…，2k），Tn=1n(b1+b2+b3+…+bn)，求证：1≤T_n≤2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n≥2时，Sn=an+1-2a-1，Sn-1=an-2a-1
两式相减得Sn-Sn-1=an+1-ana-1，an=an+1-ana-1，
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，a1=S1=a2-2a-1=2，
∴a₂=2a，
则，数列{a_n}的通项公式为a_n=2•a^n-1．
（2）把数列{a_n}的通项公式代入数列{b_n}的通项公式，
可得bn=1nlog2(a1a2an)
=1n(log2a1+log2a2++log2an)
=1n[1+(1+22k-1)+(1+42k-1)++(1+2n-22k-1)]
=1n[n+n(n-1)2•22k-1]=1+n-12k-1
∵1≤n≤2k，
故1≤b_n≤2

解析

an+1-2a-1

考点

据考高分专家说，试题“已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。