设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3)，bn=1n为奇数-1n为偶数求an；若cn=nanbn

题文

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n=13(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3)，bn=1n为奇数-1n为偶数
（1）求a_n；
（2）若c_n=na_nb_n，n∈N^*，求{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an=13(an-1+2an-2)得，an-an-1=-23(an-1-an-2)
又a₂-a₁=1≠0∴an-an-1an-1-an-2=-23(n∈N*，n≥3)
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公比为-23的等比数列…（3分）∴an+1-an=(-23)n-1
从而，an-an-1=(-23)n-2an-1-an-2=(-23)n-3…a₂-a₁=1
以上各式相加得，an-a1=1+(-23)+…+(-23)n-2=1-(-23)n-11+23
∴an=85-35(-23)n-1…（6分）
（2）∵bn=1n为奇数-1n为偶数，且c_n=na_nb_n，n∈N^*
∴cn=85n-35(-23)n-1n，n为奇数-85n+35(-23)n-1n，n为偶数…（8分）
又S_n=c₁+c₂+…c_n∴当n为奇数时，
Sn=(85-2×85+3×85-4×85+…+n×85)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+…+n×(23)n-1]
=45(1+n)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+…+n×(23)n-1]
当n为偶数时，
Sn=(85-2×85+3×85-4×85+…-n×85)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+…+n×(23)n-1]
=-45n-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+…+n×(23)n-1]…（10分）
令T_n=1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+…+n×(23)n-1…（1）
23Tn=1×(23)1+2×(23)2+3×(23)3+…+n×(23)n…（2）
则由（1）（2）得，13Tn=1+(23)+(23)2+(23)3+…+(23)n-1-n(23)n=1-(23)n1-23-n(23)n
∴Tn=9-(9+3n)(23)n
故Sn=4n-235+27+9n5(23)n，n为奇数-4n+275+27+9n5(23)n，n为偶数…（16分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=1，a2=2，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。