已知对任意正整数n都有a1+a2+…+an=n3，则1a2-1+1a3-1+…+1a100-1=______．

题文

已知对任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n³，则1a2-1+1a3-1+…+1a100-1=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，
∴a₁=1，a₁+a₂=8，a₁+a₂+a₃=27，a₁+a₂+a₃+a₄=64，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=125，
∴a₂=7，a₃=19，a₄=37，a₅=61，a_n=3n（n-1）+1，
∴a₁₀₀=3×100×99+1，
∴1a2-1+1a3-1+…+1a100-1=16+118+136+160+…+13×100×99，
=13（ 12+16+112+120+…+1100×99），
=13（1-12+12-13+13-14+14-15+…+199-1100），
=13（1-1100），
=33100．
故答案为：33100

解析

1a2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知对任意正整数n都有a1+a2+…+a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。