已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an求数列{an}的通项公式；设f=log3x，bn=f+f（a

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n之间满足关系S_n=12-12an
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=1b1+1b2+L+1bn，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n项和a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）n=1时，a₁=S₁=12-12a₁，∴a₁=13                            （1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12-12an-12+12an-1，∴a_n=13a_n-1，
即数列{a_n}是首项为13，公比为13的等比数列                 （3分）
故a_n=(13)n                                           （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-n(n+1)2（5分）
∴1bn=-2(1n-1n+1）                                （6分）
∴T_n=1b1+1b2+…+1bn=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=-2（1-1n+1）
∴T₂₀₁₂=-40242013      （8分）
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×(13)n，故{c_n}的前n项和u_n=-[1×(13)1+2×(13)2+…+n×(13)n]①
∴13u_n=-[1×(13)2+2×(13)3+…+n×(13)n+1]②
①-②可得：23u_n=-[(13)1+(13)2+(13)3+…+(13)n-n×(13)n+1]（12分）
∴23u_n=-12[1-(13)n]+n×(13)n+1
∴u_n=-34+34×(13)n+32n×(13)n+1                      （14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn与通项an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。