已知数列{an}和{bn}，an=n，bn=2n，定义无穷数列{cn}如下：a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，bn，…写出这个数列{cn}的一

题文

已知数列{a_n}和{b_n}，a_n=n，b_n=2ⁿ，定义无穷数列{c_n}如下：a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…
（1）写出这个数列{c_n}的一个通项公式（不能用分段函数）
（2）指出32是数列{c_n}中的第几项，并求数列{c_n}中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和
（3）如果c_x=c_y（x，y∈N^*，且x＜y），求函数y=f（x）的解析式，并计算c_x+1+c_x+3+…+c_y（用x表示） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…
    即n，2ⁿ，n，2ⁿ，n，2ⁿ，n，2ⁿ，…
    不妨：cn= [1+(-1)n+1] •(n+1)4+[1+(-1)n] •2n2- 1；
    （2）32=a₃₂=b₅，b₅=c₁₀，a₃₂=c₆₃；
    数列{c_n}中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和为：
    a₆+a₇+…+a₃₁+b₆+b₇+…+b₃₁=26(6+31)2-（2⁶-2³²）=481-64+2³²=4294967713．
（3）∵c_x=c_y（x，y属于正整数，且x＜y），
∴y=2(x2+1)-1．
c_x+1+c_x+3+…+c_y=[2x2-x2][x2+1+2x2]   2-2(x2+1)+2[2x2]．

解析

(n+1)4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}，an=n，b.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。