已知数列{an} 2an+1=an+an+2，它的前n项和为Sn且a5=5，S7=28求数列{1Sn}前n项的和Tn若数列{bn}满足b

题文

已知数列{a_n} 2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n项和为S_n 且a₅=5，S₇=28 
（1）求数列{1Sn}前n项的和T_n
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b n+1=bn+qan(q＞0)求数列{b_n}的通项公式，并比较b_n•b_n+2，b n+12的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差数列，
∵a₅=5，S₇=28 
∴a₁+4d=5，7a₁+21d=28
∴a₁=1，d=1，∴a_n=n…（3分），
∴Sn=n(n+1)2，∴1Sn=2n(n+1)=12（1n-1n+1）
∴T_n=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2（1-1n+1）=2nn+1．…（6分）
（2）∵bn+1-bn=qn，
∴当n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+q+…+qn-1=n，q=11-qn1-q，q≠1
当n=1时，b₁=1满足上式，故bn=n，q=11-qn1-q，q≠1…（9分）．
当q=1时，bnbn+2-bn+12=n（n+2）-（n+1）²=-1＜0，…（10分）
当q≠1时，bnbn+2-bn+12=1-qn1-q•1-qn+21-q-(1-qn+11-q)2=-qⁿ＜0，
所以bnbn+2＜bn+12…（12分）

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 2an+1=an+an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。