题文
、（本小题满分14分）已知函数
，数列
满足递推关系式：
（
），且
、
（Ⅰ）求
、
、
的值；
（Ⅱ）用数学归纳法证明：当
时，
；
（Ⅲ）证明：当
时，有
、 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）【解】由及
计算得：
，
，
.…3′
（Ⅱ）【证】（ⅰ）
即当
时，结论成立. ……5′
（ⅱ）假设结论对
（
）成立，即
.
∵
，函数
在
上递增
∴
，即当
时结论也成立.
由（ⅰ）（ⅱ）知，不等式
对一切
都成立. ……9′
（Ⅲ）∵当
时，
，∴
.
又由
得：
，且
.……11′
∴
.……14′
解析
略考点
据考高分专家说，试题“、（本小题满分14分）已知函数，数列满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
