题文
已知函数
,若
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
是不等式
整数解的个数，求
；
(3)记数列
的前n项和为
，是否存在正数
，对任意正整数
，使
恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由题可知
………………（2分）
得
．………………………………………………………………（4分）
（2）原式化简：
……………………………………（8分）
其中整数个数
．…………………………………………（10分）
（3）由题意，
，
…………………（12分）
又
恒成立，
，
，
所以当
取最大值，
取最小值时，
取到最大值．……（14分）
又
，
，所以
……………………………………（16分）
解得
………………………………………………………………（18分）
解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知函数,若成等差数列. (1)求数列的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
