已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an－.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan·2n，求数列{bn}的前n项和Sn

题文

已知数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝a_n－

.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝na_n·2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n＝

.(2) S_n＝n·2^n＋1. 

解析

(1)由已知得a_n＋1－a_n＝－

，又a₁＝2，
∴当n≥2时，a_n＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(a_n－a_n－1)＝

，
a₁＝2也符合上式，∴对一切n∈N^*，a_n＝

.            6分
(2)由(1)知：b_n＝na_n·2ⁿ＝(n＋1)·2ⁿ，
∴S_n＝2×2＋3×2²＋4×2³＋…＋(n＋1)×2ⁿ，①
2S_n＝2×2²＋3×2³＋…＋n×2ⁿ＋(n＋1)×2^n＋1，②
∴①－②得－S_n＝2×2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－(n＋1)×2^n＋1＝2＋

－(n＋1)×2^n＋1
＝2＋2^n＋1－2－(n＋1)·2^n＋1＝－n·2^n＋1，∴S_n＝n·2^n＋1.              12分
点评：数列解答题考查的的热点为求数列的通项公式、等差(比)数列的性质及数列的求和问题.因此在复习中，要特别注意加强对由递推公式求通项公式、求有规律的非等差(比)数列的前n项和等的专项训练.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。