在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.

题文

在数列{a_n}中，a₁＝1，当n≥2时，其前n项和S_n满足

.
(1)求S_n的表达式；
(2)设b_n＝

，求{b_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)因为

，所以n≥2，s_n²=（s_n-s_n-1）（s_n-

），
所以s_n=

，即

=2（n≥2）
所以，

=2n-1

,
(2) 由（1）得，


所以，

，


又

是增函数,

,故结论得证.

解析

(1)

,(2)




又

是增函数,

,故结论得证.
点评：中档题，本题综合考查数列的前n项和与通项的关系，“裂项相消法”，不等式的证明。涉及

，往往通过研究

的差，确定数列的通项公式。“裂项相消法”“分组求和法”“错位相减法”是常常考查的数列求和方法。

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。