题文
已知数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且
.
⑴求证：数列
是等差数列；
⑵设
，求证：
；
⑶设
，
，求
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
解析
（1）一般数列问题中出现数列前
的和
与其项
时，则可利用关系
找出数列的递推关系，本题可从此入手，证明数列为等差数列；(2)由(1)可求出
，根据此式的结构特征，可得
，利用裂项相消法求其前
的和
后再予以判断；(3)根据数列
的结构特点(等差乘等比型)可用错位相减法求和.证明数列为等差数列或等比数列，应紧扣定义，通过对所给条件变形，得到递推关系，而等差乘等比型数列的求和最常用的就是错位相减法，使用这个方法在计算上要有耐心和细心，注意各项的符号，防止出错.
试题解析：⑴证明：
，当
时，
或
，又
. 1分
由
，得
，
数列
是以1为首项，1为公差的等差数列； 4分
⑵证明：由⑴知
，
，
. 8分
⑶
，
， ①
②
由①－②得
，
. 12分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的各项均为正数，其前项和为，且......”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
