题文
已知
且
，数列
满足
，
，
（
），令
，
⑴求证：
是等比数列；
⑵求数列
的通项公式；
⑶若
，求
的前
项和
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）当
时，
；当
时，
；
（3）
.
解析
（1）根据等比数列的定义，只需证明
是一个非零常数，∵
=
，∴
是等比数列；
（2）由（1）可知
，联想到
是常数），可利用
构造等比数列求
，∴两边同时除以
，得
，然后讨论
是否相等，当
时，
是等差数列，解得
；当
时，
是等比数列，
（3）当
时，
，通项公式是等差数列乘以等比数列，可利用错位相减法求和.
试题解析：(1)
,∴
是以
为首项，
为公比的等比数列 3分；
（2）由（1）可得
，∴
，
①当
时，两边同时除以
，可得
，∴
是等差数列，
6分
②当
时，两边同时除以
，可得
，设
，
，
，∴
是以首项为
，公比为
的等比数列，
，∴
. 10分
（3）因为
，由⑵可得
14分.
项和.
考点
据考高分专家说，试题“已知且，数列满足，，（），令，⑴求证： .....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
