题文
知等差数列
的公差
大于0,且
是方程
的两根,数列
的前
项和为
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)记
,求证:
;
（Ⅲ）求数列
的前
项和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)
；(Ⅱ)详见解析；（Ⅲ）
．
解析
(Ⅰ)求等差数列
的通项公式，只需求出
即可，因为
是方程
的两根,且数列
的公差
,这样可求出
，从而可得数列
的通项公式，又因为数列
的前
项和为
，
，可利用
得到递推关系，
，得出
，数列
是等比数列，根据等比数列的通项公式写出
；(Ⅱ)记
,求证:
，首先写出数列
的通项公式，
， 要证明
，可用作差比较法，只需证
即可；（Ⅲ）求数列
的前
项和
，由
的通项公式可知，它是由一个等差数列，与一个等比数列对应项积所组成的数列，符合利用错位相减法求数列的和，故本题用错位相减法来求
．
试题解析：(Ⅰ)因为
是方程
的两根,且数列
的公差
,所以
公差
1分
所以
. 2分
又当
时,有
,所以
.
当
时,有
,所以
. 3分
所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列,
所以
. 4分
(Ⅱ)由(1)知
, 5分
所以
, 7分
所以
. 8分
（Ⅲ）因为
, 9分
则
,①
,② 10分
由①-②,得
, 11分
整理,得
. 12分
考点
据考高分专家说，试题“知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
