题文
已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项.
（Ⅰ）若
，且
，求数列
的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
，求数列
的前
项和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
解析
（Ⅰ）已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项，若
，且
，求数列
的通项公式，此题关键是求
，要求
利用
是
与
的等比中项，得
，当
时，
，求得
，从而得
，再由
，得
，这样得数列
是以2为公比的等比数列，从而得数列
的通项公式；（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
，首先求数列
的通项公式，由
，只需求出数列
的通项公式，由前面可知
，可利用
来求，求得
，得
，这是一个等比数列与一个等差数列对应项积所组成的数列，求它的和可用错为相减法来求．
试题解析：（Ⅰ）
，即
，当
时，
，∴
，当
时，
，∴
，即
，
∵
∴
,∴数列
是等差数列，由
得
，∴数列
是以2为公比的等比数列，∴
，∴
（Ⅱ）
， ∴
①，
两边同乘以
得
②，
①-②得
．
考点
据考高分专家说，试题“已知正项数列的前项和为，是与的等比中项......”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
