题文
设等差数列
的前n项和为
，且
，
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
前n项和为
，且
，令
．求数列
的前n项和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(I)
(II)
.
解析
此类问题的一般处理方法是，首先依题意，建立“
”的方程组，确定数列
的通项公式，进一步利用
，应用
与
的关系，确定
的通项公式.根据数列的特征，利用“错位相减法”求和，属于常考题，易错点是忽视对
两类情况的讨论.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
∵
，
， 2分
∴
,
， 4分
所以数列
的通项公式
； 6分
（Ⅱ）因为
， 7分
当
时，
，
当
时，
， 10分
且
时不满足
， 11分
且
时满足
， 8分
所以数列
的通项公式为
；
所以
， 9分
所以
，
即
， 10分
两式相减得：
， 11分
所以
． 12分
项和与第
项之间的关系，“错位相减法”.
考点
据考高分专家说，试题“设等差数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
