已知数列{an}的首项a1=2，an+1=2an+2n+1，证明：数列{an2n}为等差数列；设数列{an}的前n项和为Sn，求

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）证明：数列{an2n}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵an+12n+1-an2n=an+1-2an2n+1=2n+12n+1=1(n≥1)
∴数列{an2n}为等差数列
（Ⅱ）∵a12=1，∴an2n=1+(n-1)=n，∴a_n=n•2ⁿ
所以s_n=2+2×2²+3×2³+…+n2^n…①，
两边都乘以2得：2s_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2^n+1…②
①-②得：-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n2ⁿ⁺¹，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=2，an+1.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。