已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn．等比数列{bn}的前n项和为Tn，且S4=2S2+4，b2=19，T2=49．求公差d的值；若

题文

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且S₄=2S₂+4，b2=19，T2=49．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围；
（Ⅲ）若a1=12，判别方程S_n+T_n=55是否有解？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S₄=2S₂+4，
∴4a₁+3×42d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，必须有a8≤0a9≥0，即a1+7d≤0a1+8d≥0．
求得-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范围是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比数列{b_n}满足b2=19，T2=49，即b1q=19b1+b1q=49，解得b₁=13，q=13，
∴Tn=13[1-(13)n]1-13=12[1-(13)n]，又S_n=na₁+12n（n-1）d=12n²，…2
则方程S_n+T_n=55转化为：n²+[1-(13)n]=110．
令：f（n）=n²+1-(13)n，知f（n）单调递增，
当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1-(13)n]＜100+1=101，
当n≥11时，f（n）≥11²+[1-(13)11]＞11²=121，所以方程S_n+T_n=55无解．…3

解析

3×42

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公差为d的等差数列，它的前.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。