设数列{an}中，an=1+2+3+…+n(n∈N*)，将{an}中5的倍数的项依次记为b1，b2，b3，…，求b1，b2，b3，b4的值．用k表

题文

设数列{a_n}中，an=1+2+3+…+n(n∈N*)，将{an}中5的倍数的项依次记为b₁，b₂，b₃，…，
（I）求b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（II）用k表示b_2k-1与b_2k，并说明理由．
（III）求和：b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1+b_2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a_n=1+2+3+…+n=n(n+1)2
由题意可得，b₁=a₄=10，b₂=a₅=15，b₃=a₉=45，b₄=a₁₀=55；
（II）∵an=n(n+1)2=5m(m∈N+)，
∴n=5k或n+1=5k（k∈N₊），
即n=5k-1或n=5k
∵b_2k-1＜b_2k，
∴b2k-1=a5k-1=5k(5k-1)2，b_2k=a_5k=5k(5k+1)2
（III）由（II）可得，b_2n-1+b_2n=5n(5n-1)+5n(5n+1)2=25n²
∴b₁+b₂+…+b_2n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
=25×1²+25×2²+…+25n²
=25（1²+2²+…+n²）
∴b1+b2+…+b2n=256n(n+1)(2n+1)．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}中，an=1+2+3+…+.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。