已知Sn为数列an的前n项和，且2an=Sn+n．若bn=an+1，证明：数列bn是等比数列；求数列Sn的前n项和Tn．

题文

已知S_n为数列a_n的前n项和，且2a_n=S_n+n．
（I）若b_n=a_n+1，证明：数列b_n是等比数列；
（II）求数列S_n的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）n=1时，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
两式相减得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1
即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
即b_n+1=2b_n，
又b₁=a₁+1=2．
所以数列b_n是首项为2，公比为2的等比数列．
（II）由（I）知，b_n=2×2^n-1=2ⁿ，a_n=b_n-1=2ⁿ-1，
由2a_n=S_n+n，得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴T_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-（1+2+3++n）-2n
=22•(1-2n)1-2-n(n+1)2-2n=2n+2-4-52n-12n2.

解析

22•(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为数列an的前n项和，且2an=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。