已知数{an}的前n项和为Sn，且满Sn=2an-na1，a2，a3的值；求证：数列{an+1}是等比数列；bn=nan，

题文

已知数{a_n}的前n项和为S_n，且满S_n=2a_n-n（n=1，2，3_）
（1）a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（3）b_n=na_n，求数{b_n}的前n项T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为S_n=2a_n-n，令n=1，解得a₁=1，
分别再令n=2，n=3，可解得a₂=3，a₃=7；
（2）因为n＞1，n∈N），
两式相减可得a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁+1=2，所以{a_n+1}构成首项为2，公比为2的等比数列；
（3）因为{a_n+1}构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以an+1=2n，所以a_n=2ⁿ-1，
因为b_n=na_n，所以b_n=n•2ⁿ-n，
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），
令H_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ     （1）
则2H_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹     （2）
（1）-（2）得：-H_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2(1-2n)1-2-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，故H_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹-n(n+1)2

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数{an}的前n项和为Sn，且满Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。