已知有穷数列{an}共有2k项，首项a1=2．设该数列的前n项和为Sn，且an+1=Sn+2，其中常数a＞1

题文

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2．设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，┅，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a=2^22k-1，数列{b_n}满足b_n=1nlog2(a1a2…an)（n=1，2，┅，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{b_n}满足不等式|b₁-32|+|b₂-32|+┅+|b_2k-1-32|+|b_2k-32|≤4，求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意：
（1）证明：
当n=1时，a₂=2a，则a2a1=a；
当2≤n≤2k-1时，a_n+1=（a-1）S_n+2，a_n=（a-1）S_n-1+2，
∴a_n+1-a_n=（a-1）a_n，
∴an+1an=a，
∴数列{a_n}是等比数列．
（2）由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿ a^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿan(n-1)2=2n+n(n-1)2k-1，
b_n=1n[n+n(n-1)2k-1]=n-12k-1+1（n=1，2，2k）．
（3）设b_n≤32，解得n≤k+12，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜32；
当n≥k+1时，b_n＞32．
原式=（32-b₁）+（32-b₂）++（32-b_k）+（b_k+1-32）++（b_2k-32）
=（b_k+1++b_2k）-（b₁++b_k）
=[12(k+2k-1)k2k-1+k]-[12(0+k-1)k2k-1+k]=k22k-1．
当k22k-1≤4，得k²-8k+4≤0，4-23≤k≤4+23，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，
原不等式成立．

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。