已知数列{an}的首项a1=t＞0，an+1=3an2an+1，n=1，2，…若t=35，求证{1an-1}是等比数列并求出{an}的通项公式；若a

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=t＞0，an+1=3an2an+1，n=1，2，…
（1）若t=35，求证{1an-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题意知a_n＞0，
∵an+1=3an2an+1，∴1an+1=2an+13an，∴1an=13an+23，
∴1an+1-1=13(1an-1)，
∵1a1-1=23（4分）
∴数列{1an-1}是首项为23，公比为13的等比数列；（5分）
∴1an-1=(53-1)(13)n-1=23n，∴an=3n3n+2（8分）
（2）由（1）知1an+1-1=13(1an-1)，
∴1an-1=(1t-1)(13)n-1（10分）
由a1＞0，an+1=3an2an+1知a_n＞0，故a_n+1＞a_n得1an+1＜1an（11分）
即(1t-1)(13)n+1＜(1t-1)(13)n-1+1
∴1t-1＞0，又t＞0，则0＜t＜1（14分）

解析

3an2an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=t＞0，an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。