在等比数列{an}中，a1=-1，a4=64求数列{an}的通项公式an；求和Sn=a1+2a2+3a3+…+nan．

题文

在等比数列{a_n}中，a₁=-1，a₄=64
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意得，q3=a4a1=-64，解得q=-4，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-（-4）^n-1，
（2）由（1）得，na_n=-n（-4）^n-1，
∴S_n=-1-2×（-4）-3×（-4）²-…-n（-4）^n-1①，
-4S_n=4-2×（-4）²-3×（-4）³-…-（n-1）（-4）^n-1-n（-4）ⁿ②，
①-②得，5S_n=-1-[（-4）+（-4）²+（-4）³+…+（-4）^n-1]+n（-4）ⁿ
=-1-(-4)[1-(-4)n-1]1+4+n（-4）ⁿ
=-15+5n+15(-4)n，
∴S_n=--125+5n+125(-4)n．

解析

a4a1

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，a1=-1，a4=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。