已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是A．a1+a3≥2a2B．a21+a23≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2

题文

已知{a_n}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A．a₁+a₃≥2a₂B．a21+a23≥2a22C．若a₁=a₃，则a₁=a₂D．若a₃＞a₁，则a₄＞a₂ 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等比数列的公比为q，则a₁+a₃=a2q+a2q，当且仅当a₂，q同为正时，a₁+a₃≥2a₂成立，故A不正确；
a21+a23=(a2q)2+( a2q)2≥2 a22，∴a21+a23≥2a22，故B正确；
若a₁=a₃，则a₁=a₁q²，∴q²=1，∴q=±1，∴a₁=a₂或a₁=-a₂，故C不正确；
若a₃＞a₁，则a₁q²＞a₁，∴a₄-a₂=a₁q（q²-1），其正负由q的符号确定，故D不正确
故选B．

解析

a2q

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为等比数列，下面结论中正确的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。